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为 DC-DC 升压转换器选择电感值

2018-11-28
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升压拓扑结构在功率电子领域非常重要,但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在 dc - dc 升压转换器中,所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本,并确保在所需的导通模式下工作。本文讲述的是在一定范围的输入电压下,计算电感值以维持所需纹波电流和所选导通模式的方法,并介绍了一种用于计算输入电压上限和下限模式边界的数学方法,还探讨了如何使用安森美半导体的 WebDesigner™ 在线设计工具来加速这些设计步骤。
 

 

Conduction Mode
导通模式

升压转换器的导通模式由相对于直流输入电流 (IIN) 的电感纹波电流峰峰值 (ΔIL) 的大小决定。这个比率可定义为电感纹波系数 (KRF)。电感越高,纹波电流和 KRF 就越低。

  (1) , 其中    (2)
 
在连续导通模式 (CCM) 中,正常开关周期内,瞬时电感电流不会达到零 (图1)。因此,当 ΔIL 小于 IIN 的2倍或 KRF <2时,CCM 维持不变。MOSFET 或二极管必须以 CCM 导通。这种模式通常适用于中等功率和高功率转换器,以最大限度地降低元件中电流的峰值和均方根值。当 KRF > 2 且每个开关周期内都允许电感电流衰减到零时,会出现非连续导通模式 (DCM) (图2)。直到下一个开关周期开始前,电感电流保持为零,二极管和 MOSFET 都不导通。这一非导通时间即称为 tidle。DCM 可提供更低的电感值,并避免输出二极管反向恢复损耗。
 


图1 – CCM 运行
  

图2 – DCM 运行


当 KRF = 2 时,转换器被认为处于临界导通模式 (CrCM) 或边界导通模式 (BCM)。在这种模式下,电感电流在周期结束时达到零,正如 MOSFET 会在下一周期开始时导通。对于需要一定范围输入电压 ( VIN)的应用,固定频率转换器通常在设计上能够在最大负载的情况下在指定 VIN 范围内,以所需要的单一导通模式 (CCM 或 DCM) 工作。随着负载减少,CCM 转换器最终将进入 DCM 工作。在给定 VIN 下,使导通模式发生变化的负载就是临界负载(ICRIT)。在给定 VIN 下,引发 CrCM / BCM 的电感值被称为临界电感(LCRIT),通常发生于最大负载的情况下。


纹波电流与 VIN
众所周知,当输入电压为输出电压 (VOUT) 的一半时,即占空比 (D) 为50%时 (图3),在连续导通模式下以固定输出电压工作的 DC-DC 升压转换器的电感纹波电流最大值就会出现。这可以通过数学方式来表示,即设置纹波电流相对于 D 的导数 (切线的斜率) 等于零,并对 D 求解。简单起见,假定转换器能效为100%。
 
根据 
  (3)、  (4) 和   (5),
 
并通过 CCM 或 CrCM 的电感伏秒平衡
  (6),
 
则 
  (7).
 
将导数设置为零,   
  (8)
我们就能得出 
  (9).  
 

图3 – CCM 中的电感纹波电流


CCM 工作
为了选择 CCM 升压转换器的电感值 (L),需要选择最高 KRF 值,确保整个输入电压范围内都能够以 CCM 工作,并避免峰值电流受 MOSFET、二极管和输出电容影响。 然后计算得出最小电感值。KRF 最高值通常选在0.3和0.6之间,但对于 CCM 可以高达2.0。 如前所述,当 D = 0.5 时,出现纹波电流 ΔIL 最大值。那么,多少占空比的情况下会出现 KRF 最大值呢? 我们可以通过派生方法来求得。

假设 η = 100%, 则 
  (10),  
 
然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ,得出:
 
 (11)                          
 
  (12).  
 
对 D 求解,可得
  (13).

D = 1 这一伪解可被忽略,因为它在稳态下实际上是不可能出现的 (对于升压转换器,占空比必须小于1.0)。因此,当 D =⅓ 或 VIN = ⅔VOUT 时的纹波因数 KRF 最高,如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值 LMIN、LCRIT 和 ICRIT
 

图4 – 当 D =⅓ 时 CCM 纹波系数 KRF 最高值

 
对于 CCM 工作,最小电感值 (LMIN)应在最接近 ⅔ V
OUT 的实际工作输入电压 (VIN(CCM)) 下进行计算。根据应用的具体输入电压范围,VIN(CCM) 可能出现在最小 VIN、最大 VIN、或其间的某个位置。解方程 (5) 求 L,并根据 VIN(CCM) 下的 KRF 重新计算,可得出

  (14),其中 VIN(CCM) 为最接近⅔VOUT 的实际工作 VIN。   
   
对于临界电感与 VIN 和 I
OUT 的变化,KRF = 2,可得出
 
  (15).
 
在给定 VIN 和 L 值的条件下,当 KRF = 2时,即出现临界负载 (ICRIT):
 
  (16)
 
DCM 工作 
如图5所示,在一定工作 VIN 和输出电流 (IOUT) 下的电感值小于 LCRIT 时,DCM 模式工作保持不变。对于 DCM 转换器,可选择最短的空闲时间以确保整个输入电压范围内均为 DCM 工作。tidle 最小值通常为开关周期的3%-5%,但可能会更长,代价是器件峰值电流升高。然后采用 tidle 最小值来计算最大电感值 (LMAX)。 LMAX 必须低于 VIN 范围内的最低 LCRIT。对于给定的 VIN,电感值等于 LCRIT (tidle= 0) 时引发 CrCM。
 

图5 – LCRIT 与标准化 VIN 的变化

 
为计算所选最小空闲时间 (tidle(min)) 的 LMAX,首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 tON(max) (所允许的 MOSFET 导通时间最大值) 与 VIN 的函数,其中 tdis 为电感放电时间。
 
  (17),其中

   (18)
 
可得出
 
  (19).
 
平均 (直流) 电感电流等于转换器直流输入电流,通过重新排列 (17),可得出 tdis 相对于 tON 的函数。简单起见,我们将再次假设 PIN = POUT
 
  (20) ,其中  (21).
 
将方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20),求得 VIN (DCM) 下的 L
 
  (22).
 
LMAX 遵循类似于 LCRIT 的曲线,且同在 VIN = ⅔VOUT 时达到峰值。为确保最小 tidle,要计算与此工作点相反的实际工作输入电压 (VIN (DCM)) 下的最低 LMAX 值。根据应用的实际输入电压范围,VIN(DCM) 将等于最小或最大工作 VIN。若整体输入电压范围高于或低于 ⅔ VOUT(含⅔ VOUT),则 VIN(DCM) 是距 ⅔ VOUT 最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了 ⅔ V
OUT,则在最小和最大 VIN 处计算电感,并选择较低 (最差情况下) 的电感值。或者,以图表方式对 VIN 进行评估,以确定最差情况。
 
输入电压模式边界
当升压转换器的输出电流小于 ICRIT 与 V
IN 的最大值时,如果输入电压增加到高于上限模式边界或下降到低于下限模式边界,即 IOUT 大于 ICRIT 时,则将引发 CCM 工作。而 DCM 工作则发生于两个 VIN 的模式边界之间,即 IOUT 小于 ICRIT 时。要想以图表方式呈现 VIN 下的这些导通模式边界,在相同图表中绘制临界负载 (使用所选电感器) 与输入电压和相关输出电流的变化曲线。然后在 X 轴上找到与两条曲线相交的两个 VIN 值 (图6)。
 

图6 – 输入电压模式边界

 
要想以代数方式呈现 VIN 的模式边界,首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流,以查找交点:
 
  (23).
 
这可以重写为一个三次方程,KCM 可通过常数计算得出
 
  (24)     其中

  (25).
 
这里,三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出 [1] [2]。在此情况下,x1 项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量 VMB
 
我们知道
 
  (26)、  

    (27)、   以及

  (28),
 
    (29).
 
由于升压转换器的物理限制,任何 VMB ≤ 0或VMB > VOUT 的解均可忽略。两个正解均为模式边界处 VIN 的有效值。
 
模式边界 – 设计示例
我们假设一个具有以下规格的 DCM 升压转换器:
 
VOUT  = 12 V
IOUT  = 1 A
L  = 6 μH
FSW  = 100 kHz
 
首先,通过 (25) 和 (28) 计算得出 KCM 和 θ:
 

 
.
 
将 VOUT 和计算所得的 θ 值代入 (29),得出模式边界处的 VIN 值:
 
.
 
忽略伪解 (-3.36 V),我们在 4.95 V 和 10.40 V 得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。
 

图7 – 计算得出的模式边界

 
采用 WebDesigner™ Boost Powertrain 加速设计
对于不同的升压电感值,手动重复进行这些设计计算可能会令人厌烦且耗费时间。复杂的三次方程也使输入电压模式边界的计算相当繁琐且容易出错。通过使用安森美半导体的 WebDesigner™ 等在线设计工具,就能更轻松并显著地加速设计工作。 Boost Powertrain 设计模块 (图8) 会自动执行所有这些计算 (包括实际能效的影响),并根据您的应用要求推荐最佳电感值。您可以从广泛的内置数据库中选择真正的电感器部件值,或者输入您自己的定制电感器规格,立即就能计算得出纹波电流和模式边界、及其对输出电容、MOSFET、二极管损耗、以及整体能效的影响。
 

图8 - WebDesigner™ Boost Powertrain

 
结论
电感值会影响升压转换器的诸多方面,若选择不当,可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系,设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。
 
参考文献
[1] H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London: Oliver and Boyd, 1952.

[2] I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case," The Mathematical Gazette, vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008.


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