频率响应法--奈奎斯特稳定判据

2012-03-17 15:12:09来源: 互联网
频率响应法--奈奎斯特稳定判据

前面我们从代数角度出发讨论了控制系统稳定性的定义和劳斯-赫尔维茨稳定判据。本节介绍判别系统稳定性的另一种判据――奈奎斯特稳定判据。该判据是根据开环频率特性来判定闭环系统的稳定性。同时,它还能反映系统的相对稳定的程度,对于不稳定的系统,判据与劳斯稳定判据一样,还能确切回答闭环系统有多少个不稳定的特征根。

对于图5-34所示的反馈控制系统,闭环传递函数为:


(5-38)

其特征方程式为

(5-39)

(5-40)

将式(5-40)代入式(5-39)得

(5-39)

式中, 、…、 的零点,也是闭环特征方程式的根; 、…、 是 的极点,也是开环传递函数的极点。因此根据前述闭环系统稳定的充分必要条件,要使闭环系统稳定,特征函数 的全部零点都必须位于s平面的左半平面上。

5.4.1 辐角原理

由于 是s的有理分式,则由复变函数的理论知道, 除了在s平面上的有限个奇点外,它总是解析的,即为单值、连续的正则函数。因而对于s平面上的每一点,在 平面上必有唯一的一个映射点与之相对应。同理,对s平面上任意一条不通过 的极点和零点的闭合曲线 ,在 平面上必有唯一的一条闭合曲线 与之相对应,如图5-35所示。若s平面上的闭合曲线 按顺时针方向运动,则其在 平面上的映射曲线 的运动方向可能是顺时针,也可能是逆时针,它完全取决于复变函数 本身的特性。在此我们感兴趣的不是映射曲线 的具体形状,而是它是否包围 平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数,因为它与系统的稳定性有着密切的关系。

图5-35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线

图5-35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线

由式(5-41)可知,复变函数 的相角为

(5-42)

假设s平面上的闭合曲线 以顺时针方向围绕 的一个零点- 的其余零点和极点均位于闭合曲线 之外。当点s沿着闭合曲线 走了一周时,向量 的相角变化了 ,其余各向量的相角变化都为 。这表示在 平面上的映射曲线按顺时针方向围绕着坐标原点旋转一周,如图5-36所示。由此推论,若s平面上的闭合曲线 以顺时针方向包围 的z个零点,则在 平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转z周。

如果s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着 的一个极点 旋转一周,则向量 的相角变化了 。由式(5-42)可知, 的相角变化了 。这表示 平面上的映射曲线 按逆时针方向围绕其坐标原点一周。由此推广到一般,若s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着 的p个极点旋转一周,则其在 平面上的映射曲线 按逆时针方向围绕着坐标原点旋转p周。

综上所述,可得到如下的辐角原理。

辐角原理  设除了有限个奇点外, 是一个解析函数。如果s平面上的闭合曲线 以顺时针方向包围了 的Z个零点和P个极点,且此曲线不通过 的任何极点和零点,则其在 平面上的映射曲线 将围绕着坐标原点旋转N周,其中 。若 ,表示曲线 以顺时针方向围绕;若 ,则表示曲线 以逆时针方向围绕。

5.4.2 奈奎斯特稳定判据

图5-37 右半平面的封闭曲线

如果闭环系统是稳定的,则其特征方程式的根,即 所有的零点均位于s的左半平面。为了判别系统的稳定性,检验 是否有零点在s的右半平面上即可。为此,在s平面上所取的闭合曲线 应包含s的整个右半平面,如图5-37所示。这样,如果 有零点或极点在s的右半平面上,则它们必被此曲线所包围。这一闭合曲线称为奈奎斯特轨线,它是由 轴表示的 部分和半径为无穷大的半圆 部分组成。即s按顺时针方向沿着 运动到 ,尔后沿着半径为无穷大的半圆 运动到 ,其中

由于 中的 ,当s沿着奈氏轨线 运动时,有

=常数

这说明当s沿着半径为无穷大的半圆变化时,函数 始终是一常数。由此, 平面上的映射曲线 是否包围坐标原点,只取决于奈氏轨线中 部分的映射,即由 轴的映射曲线来表征。

设在 轴上不存在 的极点和零点,则当s沿着 轴由 运动到 时,在 平面上的映射曲线

(5-43)

设闭合曲线 以顺时针方向包围了 的z个零点和p个极点,由辐角原理可知,在 平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转N周,其中

(5-44)

由于

因而映射曲线 对其坐标原点的围绕相当于开环频率特征曲线 对GH平面上的(-1,j0)点的围绕,图5-38示出了奈氏曲线映射在这两个平面上的位置。

通过上述分析可知,闭环系统的稳定性可通过其开环频率响应 曲线对(-1,j0)点的包围与否来判别,这就是下述的奈奎斯特稳定判据。

奈奎斯特稳定判据:

(1) 如果开环系统是稳定的,即P=0,则闭环系统稳定的充要条件是 曲线不包围(-1,j0)点。

(2) 如果开环系统不稳定,且已知有P个开环极点在s的右半平面,则闭环系统稳定的充要条件是 曲线按逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转P周。

综上,应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性的具体步骤为:

(1)首先要确定开环系统是否稳定,若不稳定,则P为多少?

(2)作出奈氏曲线 。具体作图时可先画出 从0到 的一段曲线,然后以实轴为对称轴,画出 从0到 的另一段曲线,从而得到完整的奈氏曲线。

(3)计算奈氏曲线 对点(-1,j0)按顺时针方向的包围圈数N。

(4)根据辐角原理确定Z是否为零。如果Z=0,表示.闭环系统稳定;反之, ,表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面上的个数。

例 5-5 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

系统的开环传递函数为

试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

解:当ω由 变化时, 曲线如图5-39所示。因为 的开环极点为-0.5,-1,-2,在s的右半平面上没有任何极点,即P=0,由图5-39可知,由于奈氏曲线不包围(-1,j0)这点,因此N=0,则Z=N+P=0。这表示该闭环系统是稳定的。

图5-39

5.4.3 奈奎斯特稳定性判据的进一步说明

1、开环极点位于虚轴的情况

如果 在虚轴上存在极点,那么就不能直接用图5-37所示的奈氏轨线,因为辐角原理只适用于奈氏轨线 不通过 的奇点。为此,可对图5-37所示的奈氏轨线作些修改,使其沿着半径为 的半圆绕过虚轴上的所有极点。假设开环系统在坐标原点处有其极点,则对应的奈氏途径要修改为如图5-40所示。比较图5-40与图5-37可以发现,它们的区别在于图5-40中多了一个半径为无穷小的半圆 部分,其余两者完全相同。因此,只需要研究图5-40中的 部分在GH平面上的映射。

设系统的开环传递函数

(5-45)

部分上,令 ,其中 ,代入上式得

(5-46)

当s按逆时针方向沿着 由点a移动到c时,由式(5-46)可求得其在GH平面上的映射曲线:

对于 的I型系统, 部分在GH平面上的映射曲线为一个半径为无穷大的半圆,如图5-41a所示。图中点分别为 半圆上点a、b和c的映射点。

对于 的Ⅱ型系统, 部分在GH平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半圆,如图5-41b所示。

把上述 部分在GH平面上的映射曲线和 的奈氏曲线在 处相连接,就组成了一条封闭曲线。此时,又可应用奈奎斯特稳定判据了。

例5-6 试判别该系统的稳定性。

反馈控制系统开环传函数为

试判别该系统的稳定性。

解:由于该系统为I型系统,它在坐标原点处有一个开环极点,因而在s上所取的奈氏轨线应如图5-40所示。该图的 部分在GH平面上的映射曲线为一半径为无穷大的半圆,若将它与图5-42的奈氏曲线 相连接,则有N=2,而系统的P=0,因而Z=2,即闭环系统是不稳定的,且有两个闭环极点位于s的右半平面。

例5-7 试分析时间常数的相对大小对系统稳定性的影响并画出它们所对应的奈氏图。 

已知系统的开环传递函数为

试分析时间常数 的相对大小对系统稳定性的影响,并画出它们所对应的奈氏图。

解 由开环传递函数得

根据以上两式,作出在 三种情况下的 曲线,如图5-43所示。当 时, 曲线不包围(-1,j0)点,因而闭环系统稳定的。当 时, 曲线通过(-1,j0)点,说明闭环极点位于 轴上,相应的系统为不稳定的。当 时, 曲线以顺时针方向包围(-1,j0)点旋转两周,这意味着有两个闭环极点位于s右半平面上,该闭环系统是不稳定的。

2、利用奈氏判据确定系统的参数稳定范围

如果系统中的某个参数或若干个参数是可以变化的,为使系统稳定,可利用奈氏判据来确定系统的参数稳定范围,即根据奈氏曲线是否通过(-1,j0)点的条件来选定参数。下面以例说明之。

例5-8 试用奈氏判据确定该闭环系统稳定的K值范围。

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关键字:频率响应  奈奎斯特  稳定判据

编辑:神话 引用地址:http://www.eeworld.com.cn/mndz/2012/0317/article_15180.html
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