什么是拉普拉斯变换

2011-07-18 23:09:04来源: 互联网

拉普拉斯变换:拉普拉斯变换(英文:Laplace Transform),是工程数学中常用的一种积分变换。

如果定义: f(t),是一个关于t,的函数,使得当t<0,时候,f(t)=0,;s, 是一个复变量;

mathcal 是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt;F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。

则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出:

F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

拉普拉斯逆变换,是已知F(s),,求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。

拉普拉斯逆变换的公式是:

对于所有的t>0,;

f(t)

= mathcal ^  left

=frac  int_ ^  F(s),e^  ,ds

c,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。
为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。

  用 f(t)表示实变量t的一个函数,F(s)表示它的拉普拉斯变换,它是复变量s=σ+j&owega;的一个函数,其中σ和&owega; 均为实变数,j2=-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定:


如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在,而对σ ≤σc时积分不存在,便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t),只有当σc为有限值时,其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)=L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft=L-1[F(s)]。

  函数变换对和运算变换性质  利用定义积分,很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对,以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

关键字:变换

编辑:神话 引用地址:http://www.eeworld.com.cn/mndz/2011/0718/article_10729.html
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