一阶电路的零状态响应

2011-07-17 15:59:16来源: 互联网
一阶电路的零状态响应

当所有的储能元件均没有初始储能,电路处于零初始状态情况下,外加激励在电路中产生的响应称为零状态响应。

下面分别讨论激励为直流、正弦交流情况下,电路的零状态响应。

一、直流激励下的零状态响应。

1、串联电路

如图8-5-1所示,开关S原置于位置2,电路已达稳态,即,电容上无初始储能。在时刻,开关S由2切换至1,电路接通直流电压源,求换路后的零状态响应

图8-5-1

,开关S切换至1,由得:

    (式8-5-1)

这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。由微分方程求解的知识得,特解:

齐次方程的通解:

全解为:

  (式8-5-2)

根据换路定则:

由(式8-5-2):

因此:

最终求得:

   (式8-5-3)

     (式8-5-4)

     (式8-5-5)

根据(式8-5-3)—(式8-5-5),画出零状态响应随时间变化的曲线,如图8-5-2所示。

图8-5-2

在图8-5-1所示电路中,当后,电压源对电容充电。电容从初始电压为零逐渐增大,最终充电至稳态电压,而电流则从初始值逐渐减小,最终衰减至稳态值零。

2、串联电路。

如图8-5-3所示,开关S置于位置2,电路已达稳态,即,电感L上无初始储能。在时刻,开关S由2切换至1,电路接通直流电压源,求换路后的零状态响应

图8-5-3

后,开关S切换至1,由得:

     (式8-5-6)

(式8-5-6)是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。该方程的全解是特解和齐次方程的通解之和,即:

     (式8-5-7)

表示全解,表示特解,表示通解。换路后电路达到新的稳定状态的稳态电流就是特解,即:

     (式8-5-8)

其通解为:

       (式8-5-9)

于是,全解为:

      (式8-5-10)

(式8-5-10)中的积分常数A由初始条件确定。在时刻,根据换路定则:

由(式8-5-10):

因此:

最终得到:

   (式8-5-11)

       (式8-5-12)

      (式8-5-13)

显然,,满足。图8-5-4绘出了零状态响应的曲线。

图8-5-4

二、正弦交流激励下的零状态响应

1、串联电路

仍以图8-5-1所示电路为例,将直流电压源改为正弦交流电压源,当后,由得到电路的微分方程为:

     (式8-5-14)

的全解等于特解和通解之和,即:

由于激励是正弦交流激励,即为稳态分量,即为暂态分量。稳态分量可利用相量计算:

式中 :

暂态分量仍为,于是全解为:

  (式8-5-15)

时刻,根据换路定则,确定积分常数:

由(式8-5-15):

最终得到:

 (式8-5-16)

 (式8-5-17)

 (式8-5-18)

(式8-5-16)~(式8-5-18)说明电源的初相角对暂态分量的大小有影响,通常称为接通角。当时,电容电压的暂态分量为最大。从(式8-5-16)不难看出,电容过渡电压的最大值无论如何不会超过稳态电压幅值的两倍。但是从(式8-5-17)可以看出,在某些情况下,过渡电流的最大值将大大超过稳态电流的幅值

2、RL串联电路

仍以图8-5-3所示电路为例,将直流电压源改为正弦交流电压源,当后,由KVL得到电路的微分方程为:

  (式8-5-19)

初始条件仍是。如前所述,非齐次微分方程的全解是特解与通解之和,即:

(式8-5-19)右边是正弦函数,特解也是正弦函数,特解就是正弦交流激励下的稳态电流,可用相量求解:

式中:

   (式8-5-20)

暂态电流仍为:

   (式8-5-21)

于是全解为:

  (式8-5-22)

根据换路定则:

由(式8-5-22):

因而:

最终得到:

  (式8-5-23)

(式8-5-24)

 (式8-5-25)

关键字:电路  响应

编辑:神话 引用地址:http://www.eeworld.com.cn/mndz/2011/0717/article_10642.html
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