二阶电路的零输入响应

2011-07-17 15:09:17来源: 互联网

凡用二阶微分方程描述的电路,称为二阶电路。二阶电路中含有两个独立的储能元件。本节以串联电路为例,讨论二阶电路的零输入响应

图8-7-1

图8-7-1为串联电路,当时,假设电容C曾充过电,初始电压为,电感L处于零初始状态,即。在时刻,开关S闭合,求零输入响应

如图8-7-1所示选取各电压、电流的参考方向。开关S闭合后,根据基尔霍夫电压定律列写描述电路的微分方程:

    (式8-7-1)

(式8-7-1)中有两个未知变量i。将代入上式消去,得到:

即:

   (式8-7-2)

也可以得到:

   (式8-8-3)

(式8-7-2)与(式8-7-3)形式完全一致,都是线性常系数二阶齐次微分方程,可任选其中一式求解,现选择(式8-7-2)。求解二阶微分方程,需要两个初始条件来确定积分常数。

根据换路定则:

特征方程为:

特征根为:

  (式8-7-4)

特征根只与电路结构和参数有关。

下面分三种情况讨论方程的解。

(1)当时,过渡过程是非周期情况,也称为过阻尼情况。此时特征方程有两个不相等的负实根。通解的一般形式为:

    (式8-7-5)

电流:

   (式8-7-6)

其中积分常数A1由初始条件确定,对(式8-7-5)(式8-7-6)取时刻值:

由初值:

联立求解上两式得:

   (式8-7-7)

将A1代入(式8-7-5)(式8-7-6)得:

电容电压:

    (式8-7-8)

电流:

电感电压:

又因,于是:

  (式8-7-9)

  (式8-7-10)

图8-7-2

随时间变化的曲线如图8-7-2所示。在(式8-7-8)中,包含两个分量,S1、S2都为负值,且,故衰减得快,这两个单调下降的指数函数决定了电容电压的放电过程是非周期的。

电感电压在时初值为,在时,由于电流不断负向增加,为负;在后,电流负向减少,为正,最终衰减至零。

 

如果时,分析过程与上相同。

(2)当时,过渡过程是临界阻尼情况,此时特征方程有两个相等的负实根。

   (式8-7-11)

电容电压的一般形式为:

   (式8-7-12)

电流:

   (式8-7-13)

由初始条件确定积分常数

解之得:

因此:

 (式8-7-14), (式8-7-15)   (式8-7-16)

随时间变化的曲线与图8-7-2所示的曲线相似,响应仍然是非周期性的,非振荡性的。

(3)当时,过渡过程是欠阻尼情况,是周期性振荡情况。此时特征方程有两个实部为负的共轭复根。令,称为衰减系数,为谐振角频率,称为振荡角频率,则特征根为:

    (式8-7-17)

电容电压的一般形式为:

  (式8-7-18)

电流:

  (式8-7-19)

由初值确定积分常数A,对(式8-7-18)、(式8-7-19)取时刻的值,得到:

联立求解得:

  (式8-7-20)

于是:

 (式8-7-21)

   (式8-7-22)

 (式8-7-23)

图8-7-3

的波形如图8-7-3所示,它们都是振幅按指数规律衰减的正弦波,图中虚线为包络线。当达到极大值时,为零;当达到极大值时,I为零。这种幅值逐渐减小的振荡称为阻尼振荡或衰减振荡。衰减系数b越大,振幅衰减越快;b越小,振幅衰减越慢。阻尼振荡角频率决定于由路本身的参数,电阻减小,则衰减系数减小,衰减减慢,在的极限情况下,衰减系数,响应变成等幅振荡,也称为无阻尼振荡。无阻尼振荡角频率等于谐振角频率,这时(式8-7-21)(式8-7-22)(式8-7-23)变为:

   (式8-7-24)

   (式8-7-25)

   (式8-7-26)

上述无阻尼振荡不是由激励源强制作用所形成的,是零输入响应,因此称为自由振荡。下面从能量转换角度分析电路的久阻尼周期性振荡过程。

例8-7-1 如图8-7-4所示电路,当时开关S闭合。已知。试分别计算时的

图8-7-4例8-7-1附图

解:图8-7-4所示是一个RLC串联电路,利用前面的分析结果求解。

(1)时,,过渡过程为过阻尼情况。

根据换路定则:

于是:

求得:

故:

(2)当时,,过渡过程为临界阻尼情况

由初始条件得:

解得:

,故:

(3)当时,,过渡过程为欠阻尼情况:

由初始条件得:

解得:

故:

关键字:电路  响应

编辑:神话 引用地址:http://www.eeworld.com.cn/mndz/2011/0717/article_10639.html
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