拉普拉斯变换

2011-07-17 15:08:21来源: 互联网

在电路分析中,如果将换路时刻作为时间的起点,那么我们只需研究后的电路变量,这样就可以将函数限定在的区间。这就相当于将函数乘上了单位阶跃函数,即:

乘以一个衰减因子,选择适当的,使得在区间内绝对可积,则它的傅里叶变换为:

     (式9-1-1)

(式9-1-1)的积分下限取为,令,则积分结果是S的函数,将(式9-1-1)写为:

     (式9-1-2)

(式9-1-2)中的s称为复频率。对于一个时间函数,由(式9-1-2)就可得到一个,通常将称为原函数,将称为象函数。

进行傅里叶反变换,有:

上式两边同乘,得:

     (式9-1-3)

(式9-1-2)、(式9-1-3)是一对拉普拉斯变换式,(式9-1-2)为拉普拉斯正变换,(式9-1-3)为拉普拉斯反变换,常用手写体“L”表示拉普拉斯变换,记为:

如果时间函数满足:

(1)时,

(2)时,都分段连续,在有限区间内至多存在有限个间断点;

(3)是指数阶函数,即存在常数,使,从而使积分有限,其中,则的拉普拉斯变换存在。电路中常见函数一般都是指数阶函数。

 

下面按拉普拉斯变换的定义式(式9-1-2)导出一些常用函数的象函数。

一、指数函数

这里应有

时,成为单位阶跃函数,于是的拉氏变换为,记为:

时,可得:

二、单位冲激函数

式中利用了的筛分性质,即:

一些常用函数的拉普拉斯变换式详见表9-1-1。

 

表9-1-1  一些常用函数的拉普拉斯变换

1

n为正整数)

n为正整数)

a

关键字:变换

编辑:神话 引用地址:http://www.eeworld.com.cn/mndz/2011/0717/article_10638.html
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