利用低功耗微控制器开发FFT应用

2006-08-15 15:03:54来源: MAXIM

  今天的低功耗微控制器(μC)也开始集成原先只存在于大型微处理器、ASIC和DSP中的外设功能,使我们有可能以很低的功耗实现复杂的算术运算。本文讨论一种快速傅立叶变换(FFT)应用,并在一个含有单周期硬件乘法器的低功耗μC上实现该应用。
这个FFT应用实时计算一路输入电压(图1中的VIN)的频谱。为完成该任务,用一片模数转换器(ADC)对VIN进行采样,获得的采样传送给μC。然后,μC对这些采样执行256点FFT运算,获得输入电压的频谱。为便于检测,μC将计算出的频谱数据传送给PC,由PC实时显示出来。


图1. 利用FFT应用计算输入电压的频谱。
该FFT应用的固件针对MAXQ2000系列中的一款16位、低功耗μC用C语言编写。有兴趣的读者可以下载(ZIP,2.4kb)该项目的固件和电路原理图。


背景知识
为确定输入信号采样的频谱,我们需要对这些输入采样进行离散傅立叶变换(DFT)。DFT的定义如下:

其中N是采样的数量,X(k)是频谱,x(n)是一组输入采样。利用欧拉等式展开求和符,并分离输入采样和频谱的实部和虚部,得到以下等式:

式2和3中,求和符中第二项的消失是由于输入采样全部为实数。假定我们有N个采样,直接计算式2和3需要2N2次乘法和2N(N - 1)次加法。这样,我们的256点输入采样DFT将需要进行131,072次乘法和130,560次加法运算。我们还是将注意力转向FFT吧!

有多种FFT算法可供使用。本应用采用普通的radix-2算法,继续将DFT分解为两个更小的DFT。为此,N必须是2的指数。这种radix-2 FFT算法的步骤可归纳如图2所示的蝶型运算。观察这些蝶型运算我们可以发现,radix-2算法仅需(N / 2)log2(N)次乘法和Nlog2(N)次加法。图2中用到的参数WN就是通常所谓的“旋转因子”,可以在执行算法前预先计算出来。


图2. 利用蝶型运算实现N = 8的FFT。

在图2中,FFT的输入显示为一种特殊的排列顺序,这种序列是对原始序列索引号的二进制位反转后得到的。因此,当我们对N = 8个采样执行radix-2 FFT算法时,需要将输入数据的原始序列:

0 (000b), 1 (001b), 2 (010b), 3 (011b), 4 (100b), 5(101b), 6(110b), 7(111b)

重新排列为:

0 (000b), 4, (100b), 2 (010b), 6 (110b), 1 (001b), 5 (101), 3 (011), 7 (111)

FFT输出则以正确的顺序排列。图2还说明,每个单独的蝶型运算所得的结果,是下一级FFT运算所需的唯一数据。由于运算过程可“即位”进行,新值可替代旧值,这样,计算N个采样的FFT只需要2N个变量(因为每个数据都包括实部和虚部两部分)。

FFT完成后,结果为复数形式。式4和5将结果转换为极坐标方式后表示为:

有关DSP的文献中可以找到很多优化方法,可使上述DFT/FFT算法更小或更快。其中最重要的一种优化方法(可能也是最容易实现的)源于这样一个事实,那就是作为一个实数信号,其DFT幅度是相关于X(N / 2)对称的,因此:

编写FFT代码绝非易事。低功耗μC的一些局限又进一步使该任务复杂化。

存储器:我们所选的μC有2kB的RAM。已经知道该算法需要用到2N个16位变量来存储FFT数据,这样,我们的μC可以执行N最高为512的FFT。然而,固件的其他部分也要用到一些RAM。因此,在此项目中,我们限制N于256。若采用16位变量来表示每个值的实部和虚部,FFT数据总共需要1024字节的RAM。

速度:低功耗μC尽管具有高MIPS/mA性能,仍然需要一些优化手段来使运行FFT的指令数尽可能少。好在本应用所用的C编译器(IAR的Embedded Workbench for MAXQ,见www.iar.com)可提供多种级别的优化和设置。高效地使用硬件乘法器可使代码优化到可以接受的水平。

无浮点能力:所选的μC不具备浮点能力(低功耗产品一般都不具备浮点能力)。因此,所有运算都必须采用定点算法。为了表示小数,固件采用带符号的Q8.7表示法。这样,在固件中假定:

第0位至第6位代表小数部分
第7位至第14位代表整数部分
第15位代表符号位(二的补码)
这样的安排对于加法和减法没有影响,但在做乘法时必须注意将数据按照Q8.7格式对齐。

所选的数据表示法还要适应FFT算法可能遇到的最大数值,同时又要提供足够的精度。例如,我们的ADC可提供带符号的8位采样,以二的补码表示。如果输入为最大幅度(对于带符号8位采样为127)的直流电压,则其能谱全部包含于X(0)中,用Q8.7表示为32512。这个数值能够由单个带符号的16位数据表示。


固件
以下部分讨论在低功耗μC上执行radix-2 FFT的固件实现。信号采样由ADC读出后被存储在x_n_re数组中。这个数组代表x(n)的实部。虚部存储在x_n_im数组中,在开始运行FFT前初始化为零。完成FFT后,计算结果取代原始采样数据,被存储在x_n_re和x_n_im中。

获取采样
FFT算法假定采样是以固定的取样频率获得的。在为FFT获取采样时如果不加小心将会产生一些问题。例如,采样间隔的抖动就会给FFT结果引入误差,应尽力减小之。
ADC采样循环中的判决语句会造成采样间隔的抖动。例如,我们的系统从ADC读取带符号的8位采样,并将其存储在一组16位变量中。在下面的程序清单1中给出了两种伪码算法,执行这种ADC读取-存储功能。算法1给出的方法会造成采样间隔的抖动,因为负采样比正采样需要更多的时间来读取并存储。

清单1. 两种ADC采样伪码算法。第二种算法避免了第一种的问题——采样间隔抖动。

// ALGORITHM 1: INCONSISTENT SAMPLING FREQUENCY - BAD!
// sample[] is an array of 16-bit variables
for i = 0 to (N-1)
begin
doADCSampleConversion() // Instruct ADC to sample Vin
sample[i] = read8BitSampleFromADC() // Read 8-bit sample from ADC

if (sample[i] & 0x0080) // If the 8-bit sample was negative
sample[i] = sample[i] + 0xFF00 // Make the 16-bit word negative
end

// ALGORITHM 2: FIXED SAMPLING FREQUENCY - GOOD!
// sample[] is an array of 16-bit variables
for i = 0 to (N-1)
begin
doADCSampleConversion() // Instruct ADC to sample Vin
sample[i] = read8BitSampleFromADC() // Read 8-bit sample from ADC
end

for i = 0 to (N-1)
begin
if (sample[i] & 0x0080) // If the 8-bit sample was negative
sample[i] = sample[i] + 0xFF00 // Make the 16-bit word negative
end


三角函数表
本FFT算法通过查表(LUT)而非计算得到正弦或余弦函数值。程序清单2给出了对于正弦和余弦LUT的申明。实际固件的注释中包含了自动生成这些LUT的源代码,可由程序调用。两个LUT均含有N / 2分量,因为旋转因子的索引号变化范围为从0至N / 2 - 1 (见图2)。
清单2. 正弦和余弦函数LUT。

const int cosLUT[N/2] = {+128,+127,+127, ... ,-127,-127,-127};
const int sinLUT[N/2] = {+0 ,+3 , +6, ... ,+9 , +6, +3};

这些LUT中的数组被声明为const,强制编译器将它们存储于代码空间而非数据空间。由于LUT数值须采用Q8.7表示法,它们由正弦和余弦的实际值乘以27后得到。


位反转
位反转排序(N已知)可在运行时通过计算、查表或直接利用展开循环编写。所有这些方法都需要在源代码的尺寸和运行速度间进行折衷。本FFT应用利用展开循环进行位反转,其源代码较长,但运行速度快。程序清单3显示了该展开循环的实现。本应用固件的注释中包含了用于程序自动生成展开循环的源代码。
清单3. 用于实现N = 256的位反转的展开循环。

i=x_n_re[ 1]; x_n_re[ 1]=x_n_re[128]; x_n_re[128]=i;
i=x_n_re[ 2]; x_n_re[ 2]=x_n_re[ 64]; x_n_re[ 64]=i;
i=x_n_re[ 3]; x_n_re[ 3]=x_n_re[192]; x_n_re[192]=i;
i=x_n_re[ 4]; x_n_re[ 4]=x_n_re[ 32]; x_n_re[ 32]=i;
...
i=x_n_re[207]; x_n_re[207]=x_n_re[243]; x_n_re[243]=i;
i=x_n_re[215]; x_n_re[215]=x_n_re[235]; x_n_re[235]=i;
i=x_n_re[223]; x_n_re[223]=x_n_re[251]; x_n_re[251]=i;
i=x_n_re[239]; x_n_re[239]=x_n_re[247]; x_n_re[247]=i;


Radix-2 FFT算法
采样按照位反转方式重新排序后就可进行FFT运算了。本radix-2 FFT应用的固件通过三个主循环执行图2所示的蝶型运算。外循环计数log2(N)级FFT运算。内循环执行每一级的蝶型运算。
FFT算法的核心部分是执行蝶型运算的一小块代码。程序清单4给出了这一块代码,遗憾的是,它是本应用中唯一“不可移植”的固件。宏MUL_1和MUL_2利用μC的硬件乘法器执行单指令周期乘法运算。这些宏的内容专用于MAXQ2000,可在实际固件中全部看到。

清单4. 用C编写的蝶型运算。

/* (1) Macro MUL_1(A,B,C): C=A*B (result in Q8.7)*/
/* (2) Macro MUL_2(A,C) : C=A*last_B (result in Q8.7)*/
MUL_1(cosLUT[tf],x_n_re[b],resultMulReCos);
MUL_2(sinLUT[tf],resultMulReSin);
MUL_1(cosLUT[tf],x_n_im[b],resultMulImCos);
MUL_2(sinLUT[tf],resultMulImSin);

x_n_re[b] = x_n_re[a]-resultMulReCos+resultMulImSin;
x_n_im[b] = x_n_im[a]-resultMulReSin-resultMulImCos;
x_n_re[a] = x_n_re[a]+resultMulReCos-resultMulImSin;
x_n_im[a] = x_n_im[a]+resultMulReSin+resultMulImCos;


复数的极坐标转换
为了便于确定VIN频谱的幅度,我们须要将复数形式的X(k)转换为极坐标形式。实现该转换的固件示于程序清单5。幅度值取代了原始的FFT结果,因为固件不再需要这些数据。
清单5. FFT结果从复数形式转换为极坐标形式。

const unsigned char magnLUT[16][16] =
{
{0x00,0x10,0x20, ... ,0xd0,0xe0,0xf0},
{0x10,0x16,0x23, ... ,0xd0,0xe0,0xf0},
...
{0xe0,0xe0,0xe2, ... ,0xff,0xff,0xff},
{0xf0,0xf0,0xf2, ... ,0xff,0xff,0xff}
};
...
...
/* Compute x_n_re=abs(x_n_re) and x_n_im=abs(x_n_im) */
...
...
x_n_re[0] = magnLUT[x_n_re[0]>>11][0];

for(i=1; ix_n_re[i] = magnLUT[x_n_re[i]>>11][x_n_im[i]>>11];

x_n_re[N_DIV_2] = magnLUT[x_n_re[N_DIV_2]>>11][0];

频谱幅度并非根据式4计算得到,而是通过一个二维LUT查表得到。第一索引为频谱实部的高4位(MSB),第二索引为频谱虚部的高4位。为得到这些数据,可将带符号的16位数据右移11次。在从频谱的实部和虚部取得索引号前,需首先将它们转换为绝对值。因此,符号位为零。

从式6我们已经知道,频谱的幅度是关于X(N / 2)对称的,因此我们只需将前(N / 2) + 1个频谱数据转换为极坐标形式。还有,我们可以看到,对于实数输入采样,X(0)和X(N / 2)的虚部总为零。因此这两条谱线的幅度被单独计算。本项目实际固件的注释中包含了用于自动生成该LUT的源代码,可由程序调用来计算X(k)的幅度。


Hamming或Hann窗
此项目固件还包括了对输入采样加Hamming或Hann窗的LUT (Q8.7格式)。加窗函数可有效降低对时域采样x(n)的舍入操作所引起的频谱泄漏。Hamming和Hann窗函数分别如式7和8所示。

程序清单6给出了实现这些函数的代码。同样,本项目实际固件的注释中包含了用于自动生成这些LUT的源代码,可由程序调用来实现这些窗函数。

清单6. 用来实现Hamming和Hann窗函数的LUT。

const char hammingLUT[N] = {+10, +10, +10, ... ,+10, +10, +10};
const char hannLUT[N] = { +0, +0, +0, ... , +0, +0, +0};
...
...
for(i=0; i<256; i++)
{
#ifdef WINDOWING_HAMMING
MUL_1(x_n_re[i],hammingLUT[i],x_n_re[i]); // x(n)*=hamming(n);
#endif
#ifdef WINDOWING_HANN
MUL_1(x_n_re[i],hannLUT[i]),x_n_re[i]); // x(n)*=hann(n);
#endif
}


测试结果
为了测试该FFT应用的性能,固件将X(k)幅度通过μC的UART端口上传给PC。专门编写的FFT Graph软件(随该项目固件一起提供)用于从PC串口读取这些幅值,并以图形方式实时显示频谱。图3显示了μC以200ksps采样四种不同输入信号并处理后,由FFT Graph所显示出来的结果:
4.3V直流信号
50kHz正弦信号
70kHz正弦信号
6.25kHz方波


图3. FFT Graph软件显示的由低功耗μC计算出的频谱。

接下来干什么?

有兴趣的读者还可以花费大量的时间来继续优化和重新配置该FFT应用。尽管在本文中我们选择了radix-2算法,还有很多其他算法可以显著降低加法和乘法运算量。很多本文所未提及的优化可以提升FFT的速度。例如,作为纯实数的输入采样,其虚部总为零,频谱中只有前半部分有实际意义。利用这一点,第一级和最后一级FFT的执行速度可进一步优化,但需要付出更多的程序空间。
总之,本文所讨论的算法对于低功耗μC上的FFT应用而言,提供了一个很好的出发点。如果想了解更多信息和具体实现的细节,请查阅我们为本应用所提供的、带有详细注释的固件信息。

关键字:采样  频谱  算法

编辑: 引用地址:http://www.eeworld.com.cn/designarticles/control/200608/5491.html
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